Алгебра Примеры

$\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 1) (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.2

Развернем $(x + 1) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (x - 3) + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 1.3.2

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 2 x - 3 = 6 x^{2} - 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 3 - 6 x^{2} = - 6$

Этап 3.1.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 = - 6$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 + 6 = 0$

Этап 3.3

Добавим $- 3$ и $6$ .

$- 5 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- (5 x^{2} + 2 (x) - 3) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$- (5 x^{2} + (- 3 + 5) x - 3) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((5 x^{2} - 3 x) + 5 x - 3) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 3$ .

$- ((5 x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (5 x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $5 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $5 x - 3$ к $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $5 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Этап 3.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (5 x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{5}, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$ истинным.

$Нет решения$