Алгебра Примеры

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5}{a + b}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{3 x}{a - b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + b) (a - b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{3 x}{a - b}$ на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x + 3 x (a + b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x (a + b)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.5.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ .

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- \frac{5}{a + b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Этап 2.7

Умножим $\frac{5}{a + b}$ на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 2.9.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Этап 3

Умножим обе части на $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $(a + b) (a - b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4.1.1.2.2

Перенесем $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4.1.1.2.3

Перенесем $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $0 ((a + b) (a - b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(a + b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Этап 4.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $a (- b)$ и $b a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Этап 4.2.1.2.1.2

Добавим $- a b$ и $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Этап 4.2.1.2.1.3

Добавим $a \cdot a$ и $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Этап 4.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.1

Умножим $a$ на $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Этап 4.2.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Этап 4.2.1.2.2.3

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.3.1

Перенесем $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Этап 4.2.1.2.2.3.2

Умножим $b$ на $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $0$ на $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $5 a$ к обеим частям неравенства.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Этап 5.1.2

Вычтем $5 b$ из обеих частей неравенства.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $3 a x + 3 b x + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 a x$ .

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $3 b x$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Этап 5.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (3 a) + x (3 b)$ .

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ .

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ на $3 a + 3 b + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ на $3 a + 3 b + 1$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 a + 3 b + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 a - 5 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 a$ .

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 b$ .

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (a) + 5 (- b)$ .

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$