Алгебра Примеры

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Этап 1.2

Вычтем $y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Этап 1.3

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Этап 1.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Этап 1.4.2

Разложим $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 1.4.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Этап 1.4.2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.5

Умножим $9$ на $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.6

Добавим $- 27$ и $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 1.4.2.3.7

Умножим $- 27$ на $3$ .

$54 - 81 + 27$

Этап 1.4.2.3.8

Вычтем $81$ из $54$ .

$- 27 + 27$

Этап 1.4.2.3.9

Добавим $- 27$ и $27$ .

$0$

Этап 1.4.2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $y - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Этап 1.4.2.5

Разделим $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ на $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

Этап 1.4.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

Этап 1.4.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Этап 1.4.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- y^{3} + 3 y^{2}$ .

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Этап 1.4.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

Этап 1.4.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Этап 1.4.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Этап 1.4.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

Этап 1.4.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 y^{2} - 18 y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

Этап 1.4.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

Этап 1.4.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Этап 1.4.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Этап 1.4.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Этап 1.4.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 y + 27$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Этап 1.4.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Этап 1.4.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Этап 1.4.2.6

Запишем $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ в виде набора множителей.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Этап 1.4.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Этап 1.4.3.1.1.2

Запишем $6$ как $3$ плюс $3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Этап 1.4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Этап 1.4.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Этап 1.4.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Этап 1.4.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Этап 1.4.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.4

Возведем $- y + 3$ в степень $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.5

Возведем $- y + 3$ в степень $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.9

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.11

Перепишем $- (y - 3)$ в виде $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.12

Применим правило умножения к $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.14

Умножим ${(y - 3)}^{2}$ на $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Этап 1.4.4.15

Возведем $y - 3$ в степень $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Этап 1.4.4.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Этап 1.4.4.17

Добавим $1$ и $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Этап 1.5

Разделим каждый член $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.5.2.2

Разделим ${(y - 3)}^{3}$ на $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Этап 1.6

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 1.7

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 2

Приравняем $9 y^{2} - 27 y$ к $0$ .

$3 = 0$

Этап 3

Поскольку $3 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения