Алгебра Примеры

$\frac{1}{3 x - 2} + 1 = \frac{3}{3 x + 2}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{3 x - 2} = \frac{3}{3 x + 2} - 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x - 2, 3 x + 2, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $3 x - 2$ является само значение $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $3 x + 2$ является само значение $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) = 3 x + 2$

$(3 x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $3 x - 2, 3 x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 x - 2) (3 x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{3 x - 2} = \frac{3}{3 x + 2} - 1$ умножим на $(3 x - 2) (3 x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{3 x - 2} = \frac{3}{3 x + 2} - 1$ на $(3 x - 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x + 2)) = \frac{3}{3 x + 2} ((3 x - 2) (3 x + 2)) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x + 2)) = \frac{3}{3 x + 2} ((3 x - 2) (3 x + 2)) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 2 = \frac{3}{3 x + 2} ((3 x - 2) (3 x + 2)) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3 x + 2$ из $(3 x - 2) (3 x + 2)$ .

$3 x + 2 = \frac{3}{3 x + 2} ((3 x + 2) (3 x - 2)) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x + 2 = \frac{3}{3 x + 2} ((3 x + 2) (3 x - 2)) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x + 2 = 3 (3 x - 2) - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 3 (3 x) + 3 \cdot - 2 - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$3 x + 2 = 9 x + 3 \cdot - 2 - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - ((3 x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.5

Развернем $(3 x - 2) (3 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 - 2 (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.6

Объединим противоположные члены в $3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $3 x \cdot 2$ и $- 2 (3 x)$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x) + 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.6.2

Вычтем $2 \cdot 3 x$ из $2 \cdot 3 x$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x) + 0 - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.6.3

Добавим $3 x (3 x)$ и $0$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 x (3 x) - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 \cdot 3 x \cdot x - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (3 \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.7.3

Умножим $3$ на $3$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (9 x^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.7.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (9 x^{2} - 4)$

Этап 3.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = 9 x - 6 - (9 x^{2}) - - 4$

Этап 3.3.1.9

Умножим $9$ на $- 1$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - 9 x^{2} - - 4$

Этап 3.3.1.10

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$3 x + 2 = 9 x - 6 - 9 x^{2} + 4$

Этап 3.3.2

Добавим $- 6$ и $4$ .

$3 x + 2 = 9 x - 9 x^{2} - 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x - 9 x^{2} - 2 = 3 x + 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x - 9 x^{2} - 2 - 3 x = 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 x$ из $9 x$ .

$6 x - 9 x^{2} - 2 = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$6 x - 9 x^{2} - 2 - 2 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$6 x - 9 x^{2} - 4 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = - 9$ , $b = 6$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot - 4)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 \cdot - 4}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36 \cdot - 4}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $36$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{- 18}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{- 18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$