Алгебра Примеры

$\log (3 x - 1) > \log (4 - x)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (3 x - 1) = \log (4 - x)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$3 x - 1 = 4 - x$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$3 x - 1 + x = 4$

Этап 2.2.1.2

Добавим $3 x$ и $x$ .

$4 x - 1 = 4$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 4 + 1$

Этап 2.2.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$4 x = 5$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 x - 1}{4 - x} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x - 1 = 0$

$4 - x = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 4$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 - x = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.2.8.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) - 1}{4 - (0)} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $- 0.25$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (2) - 1}{4 - (2)} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (6) - 1}{4 - (6)} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $- 8.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{3} < x < 4$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 - x = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{1}{3}, 4)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < 4$

$x > 4$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log (3 (0) - 1) > \log (4 - (0))$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\log (3 (1) - 1) > \log (4 - (1))$

Этап 5.2.3

Левая часть $0.30102999$ не больше правой части $0.47712125$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{4} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{4} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\log (3 (3) - 1) > \log (4 - (3))$

Этап 5.3.3

Левая часть $0.90308998$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log (3 (6) - 1) > \log (4 - (6))$

Этап 5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.3.2

Правая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5}{4} < x < 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{5}{4} < x < 4$

Интервальное представление:

$(\frac{5}{4}, 4)$

Этап 8