Алгебра Примеры

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 3) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x - 3 - (2 x - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 3 + (- (2 x) - - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 + (- 2 x - - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{4 x - 3 + (- 2 x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.4

Развернем $(- 2 x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 3 - 2 x (x + 3) + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 6 x + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 6 x + 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5.2

Добавим $- 6 x$ и $3 x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.6

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$\frac{x - 3 - 2 x^{2} + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.7

Добавим $- 3$ и $9$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 6 = - 12$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9.1.2

Запишем $1$ как $- 3$ плюс $4$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 3 + 4) x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 4 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 2 x^{2} - 3 x) + 4 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- 2 x - 3) - 2 (- 2 x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x - 3$ .

$\frac{(- 2 x - 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (3)) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $- (2 x + 3)$ в виде $- 1 (2 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$