Алгебра Примеры

$\cos (x) \geq \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x \geq \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x \geq \frac{π}{3}$

Этап 3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\cos (3) \geq \frac{1}{2}$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 0.98999249$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\cos (6) \geq \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3

Левая часть $0.96017028$ больше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$\cos (9) \geq \frac{1}{2}$

Этап 8.3.3

Левая часть $- 0.91113026$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Ложь

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Истина

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Ложь

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Ложь

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Истина

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10