Алгебра Примеры

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 (x) + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 2$ плюс $- 5$

$\frac{8}{2 x^{2} + (- 2 - 5) x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{8}{(2 x^{2} - 2 x) - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{8}{2 x (x - 1) - 5 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - (x) - 10}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + (4 - 5) x - 10}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x (x + 2) - 5 (x + 2)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 (x + 2) + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 8 \cdot 2 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{8 x + 16 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.3

Развернем $(3 x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 16 + 3 x (x - 1) + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4.2

Добавим $- 3 x$ и $2 x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.5

Вычтем $x$ из $8 x$ .

$\frac{7 x + 16 + 3 x^{2} - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.6

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{7 x + 3 x^{2} + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.7

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$