Алгебра Примеры

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) - \log (6 x) = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим $2 \log (6)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (6^{2}) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3.1.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\log (36) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (36 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3.1.3.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 (x)}) = 0$

Этап 3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\log (6 \cdot 6 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Этап 3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\log (6 \frac{x^{2} - 2}{x}) = 0$

Этап 3.1.4

Объединим $6$ и $\frac{x^{2} - 2}{x}$ .

$\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$

Этап 4

Перепишем $\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{6 (x^{2} - 2)}{x}$

Этап 5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$6 (x^{2} - 2) = 10^{0} (x)$

Этап 6

Упростим $10^{0} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = 1 x$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = x$

Этап 7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$6 (x^{2} - 2) - x = 0$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 6 \cdot - 2 - x = 0$

Этап 7.2.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$6 x^{2} - 12 - x = 0$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Этап 8.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Этап 8.2.2

Запишем $- 1$ как $8$ плюс $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Этап 8.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Этап 8.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Этап 8.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Этап 9

Упростим $(3 x + 4) (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Развернем $(3 x + 4) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3) = 0$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x + 4 \cdot - 3 = 0$

Этап 9.2.1.6

Умножим $4$ на $- 3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x - 12 = 0$

Этап 9.2.2

Добавим $- 9 x$ и $8 x$ .

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Этап 10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Этап 10.1.2

Запишем $- 1$ как $8$ плюс $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Этап 10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Этап 10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Этап 10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Этап 10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 12

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 12.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 13

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Этап 15

Исключим решения, которые не делают $\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$ истинным.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{2}$