Алгебра Примеры

$x^{2} + {(\frac{5 y}{4} - \sqrt{| x |})}^{2} = 1$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $\frac{25 y^{2}}{16} - \frac{5 y \sqrt{| x |}}{2} = 1 - x^{2} - | x |$ лежит в точке $(0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $x$ равным $0$ . В данном случае $x = 0$ .

$x = 0$

Этап 1.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$y = 1 - {(0)}^{2} - | 0 |$

Этап 1.3

Упростим $1 - {(0)}^{2} - | 0 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 1 - 0 - | 0 |$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 1 + 0 - | 0 |$

Этап 1.3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 1 + 0 - 0$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 1 + 0 + 0$

Этап 1.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$y = 1 + 0$

Этап 1.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(0, 1)$ .

$(0, 1)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = 1 - x^{2} - | x |$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - {(- 2)}^{2} - | - 2 |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 1 - 1 \cdot 4 - | - 2 |$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = 1 - 4 - | - 2 |$

Этап 3.1.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 - 1 \cdot 2$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 - 2$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (- 2) = - 3 - 2$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f (- 2) = - 5$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 1 - x^{2} - | x |$ . В данном случае получится точка $(- 1, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - {(- 1)}^{2} - | - 1 |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = 1 + (- 1) {(- 1)}^{2} - | - 1 |$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = 1 + {(- 1)}^{1 + 2} - | - 1 |$

Этап 3.2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = 1 + {(- 1)}^{3} - | - 1 |$

Этап 3.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - | - 1 |$

Этап 3.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 1$

Этап 3.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 1) = 0 - 1$

Этап 3.2.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = 1 - x^{2} - | x |$ . В данном случае получится точка $(2, - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 1 - {(2)}^{2} - | 2 |$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 1 - 1 \cdot 4 - | 2 |$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = 1 - 4 - | 2 |$

Этап 3.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = 1 - 4 - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = 1 - 4 - 2$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (2) = - 3 - 2$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f (2) = - 5$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 3.4

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(0, 1), (- 2, - 5), (- 1, - 1), (1, - 1), (2, - 5)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 5 \end{array}$

Этап 4