Алгебра Примеры

${(x + 2)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Этап 1

Вычтем ${(x + 2)}^{2}$ из обеих частей неравенства.

$y^{2} \leq 9 - {(x + 2)}^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x + 2$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x + 2) (3 - (x + 2))}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Добавим $3$ и $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - (x + 2))}$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 1 \cdot 2)}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 2)}$

Этап 3.2.1.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Этап 4

Запишем $| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 4.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Этап 4.3

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим $(x + 5) (- x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Развернем $(x + 5) (- x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.1.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.2

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.3.1.3

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Этап 4.3.1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 4.3.1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 4.3.1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 4.3.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.3.1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.3.1.2.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.3.1.2.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.3.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - 5$

Этап 4.3.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.1.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 4.3.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.1.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.3.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.3.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 4.3.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x \leq 1$

Этап 4.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 5, 1]$

Этап 4.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $[- 5, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Этап 4.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 4.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Этап 4.6

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Упростим $(x + 5) (- x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1

Развернем $(x + 5) (- x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.1.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.2

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.3.1.3

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Этап 4.6.1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.2.1.1

$- 1, 5$

Этап 4.6.1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 4.6.1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 4.6.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.6.1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.6.1.2.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.6.1.2.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.6.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - 5$

Этап 4.6.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.6.1.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 4.6.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.1.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.6.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.6.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.6.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.3.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 4.6.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x \leq 1$

Этап 4.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 5, 1]$

Этап 4.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $[- 5, 1]$ .

$- 5 \leq y < 0$

Этап 4.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & - 5 \leq y < 0 \end{cases}$

Этап 5

Найдем пересечение $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ и $0 \leq y \leq 1$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Этап 6

Решим $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ , когда $- 5 \leq y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ в виде $- \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

$y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Этап 6.2

Найдем пересечение $y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ и $- 5 \leq y < 0$ .

Нет решения

Этап 7

Найдем объединение решений.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Этап 8