Алгебра Примеры

$4 x^{2} - 3 x - 11 \geq - 3 x - 10$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $3 x$ к обеим частям неравенства.

$4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x \geq - 10$

Этап 1.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 11 \geq - 10$

Этап 1.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} - 11 \geq - 10$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $11$ к обеим частям неравенства.

$4 x^{2} \geq - 10 + 11$

Этап 2.2

Добавим $- 10$ и $11$ .

$4 x^{2} \geq 1$

Этап 3

Разделим каждый член $4 x^{2} \geq 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $4 x^{2} \geq 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{1}{4}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$| x | \geq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.2.1.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \frac{1}{| 2 |}$

Этап 5.2.1.3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \geq \frac{1}{2}$

Этап 6

Запишем $| x | \geq \frac{1}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} & x \geq 0 \\ - x \geq \frac{1}{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 7

Найдем пересечение $x \geq \frac{1}{2}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $- x \geq \frac{1}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- x \geq \frac{1}{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{2}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{2}$ в виде $- \frac{1}{2}$ .

$x \leq - \frac{1}{2}$

Этап 9

Найдем объединение решений.

$x \leq - \frac{1}{2}$ или $x \geq \frac{1}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 11