Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 9}$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 9$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Сократим общий множитель ${(x + 3)}^{2}$ и $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x + 3$ из ${(x + 3)}^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Этап 4

Чтобы найти точки разрыва, рассмотрим в знаменателе множители, которые были сокращены.

$x + 3$

Этап 5

Чтобы найти координаты точек разрыва, приравняем все сокращенные множители к $0$ , решим и подставим найденные значения обратно в $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.3

Подставим $- 3$ вместо $x$ в $\frac{x + 3}{x - 3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{- 3 + 3}{- 3 - 3}$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3 + 3$ и $- 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1) + 3}{- 3 - 3}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1}{- 3 - 3}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{- 3 - 3}$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 (- 1) - 3}$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Этап 5.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Этап 5.3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + 1}{- 1 - 1}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{- 1 - 1}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Этап 5.3.2.4

Разделим $0$ на $- 2$ .

$0$

Этап 5.4

Разрывы в графике — точки, в которых любой из сокращенных множителей равен $0$ .

$(- 3, 0)$

Этап 6