Алгебра Примеры

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Этап 1

Заменим $<$ на $=$ в $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Этап 2

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 3

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 4

Решим $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.3

Развернем $(- 2 x + 9) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.4.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Этап 4.1.4.2

Добавим $2 x$ и $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Этап 4.2

Упростим $5 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Этап 4.3.2

Вычтем $5 x$ из $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Этап 4.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Этап 4.5

Добавим $- 9$ и $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Этап 4.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Этап 4.6.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Этап 4.6.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 4.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 4.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 4.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 5

Решим $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.3

Развернем $(- 2 x + 9) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.4.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2 x$ и $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Этап 5.2

Упростим $- 5 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Этап 5.2.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Этап 5.3.2

Добавим $11 x$ и $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Этап 5.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Этап 5.5

Вычтем $5$ из $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Этап 5.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Этап 5.6.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Этап 5.6.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Этап 5.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $- 8$ .

$- 7, - 1$

Этап 5.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Этап 5.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Этап 5.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.8

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5.9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 7, 1$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = 2, 1, 7, 1$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Этап 8.1.3

Левая часть $9$ не меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Этап 8.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $2.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Этап 8.3.3

Левая часть $3$ меньше правой части $15$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 8.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Этап 8.4.3

Левая часть $99$ не меньше правой части $45$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 7$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 7$

Интервальное представление:

$(2, 7)$

Этап 11