Алгебра Примеры

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(y - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(y - x)}^{2}$ в виде $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(y - x) (y - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 4.3.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $x y$ из $- y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Этап 4.3.1.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Этап 5.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Этап 5.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ и $c = y^{2} + 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (y^{2} + 4)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1

Перепишем ${(- 2 y - 4)}^{2}$ в виде $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.2

Развернем $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5.3.2

Добавим $8 y$ и $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.8.1.1

Умножим $y^{2} + 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.8.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.2.2

Добавим $4 y + 4$ и $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8.2.4

Добавим $4 y$ и $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.9

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.10

Перепишем $16 y$ в виде ${(2^{2})}^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$