Алгебра Примеры

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2}}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x y = 2 \cdot x \cdot (2 y)$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2}}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2 y$ .

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + 2 y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(x + 2 y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}} - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(x + 2 y)}^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x + 2 y)}^{2}$ в виде $(x + 2 y) (x + 2 y)$ .

$\frac{2 ((x + 2 y) (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.2

Развернем $(x + 2 y) (x + 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (x + 2 y) + 2 y (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cdot x + x (2 y) + 2 y (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cdot x + x (2 y) + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x (2 y) + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Добавим $2 x y$ и $2 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 x y + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $2 x y$ и $2 x y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x y) + 2 (4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 (x y) + 2 (4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 (x y) + 8 y^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - (10 x y) - (7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - 10 (x y) - (7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.7.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - 10 (x y) - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.8

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - 10 x y - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.9

Вычтем $10 x y$ из $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 y^{2} - 2 x y - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.10

Вычтем $7 y^{2}$ из $8 y^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.11

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Переставляем члены.

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.11.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Этап 4.11.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Этап 4.11.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$