Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x) + 12}{x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 2 \cdot 6}{x}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 6$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 2 x, x$

Этап 2.2

Since $x^{2}, 2 x, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.8

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.9

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.11

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.12

НОК $x^{2}, 2 x, x$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ умножим на $2 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ на $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 ((x - 3) (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.2

Развернем $(x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x + 2) - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3 x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$2 (x^{2} - x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.2.5.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 (x)} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = (x - 6) x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x \cdot x - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 2 \frac{2 (x + 6)}{x} x^{2}$

Этап 3.3.1.7

Умножим $2 \frac{2 (x + 6)}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Объединим $2$ и $\frac{2 (x + 6)}{x}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (2 (x + 6))}{x} x^{2}$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} x^{2}$

Этап 3.3.1.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.8.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.8.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x + 6) x$

Этап 3.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 4 \cdot 6) x$

Этап 3.3.1.10

Умножим $4$ на $6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 24) x$

Этап 3.3.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x \cdot x + 24 x$

Этап 3.3.1.12

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.12.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x) + 24 x$

Этап 3.3.1.12.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 24 x$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} - 6 x + 24 x$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 6 x$ и $24 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} + 18 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $5 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} = 18 x$

Этап 4.1.2

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} - 18 x = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $5 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x - 12 - 18 x = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $18 x$ из $- 2 x$ .

$- 3 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} - 20 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 20 x - 12 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 20 x$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 12 = 0$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (20 x)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} + 20 x) - 1 (12)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x + 12) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36$ , а сумма — $b = 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$- (3 x^{2} + 20 (x) + 12) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $20$ как $2$ плюс $18$

$- (3 x^{2} + (2 + 18) x + 12) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 2 x + 18 x + 12) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + 2 x) + 18 x + 12) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 2) + 6 (3 x + 2)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x + 6)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 2) (x + 6) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 4.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, - 6$