Алгебра Примеры

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}{h}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}}{h}$

Этап 1.2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}}{h}$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}}{h}$

Этап 1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}}{h}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}}{h}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h} \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.2

Возведем $\sqrt{x + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.3

Возведем $\sqrt{x + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{\sqrt{x + h}}^{1 + 1}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{\sqrt{x + h}}^{2}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{x + h}}^{2}$ в виде $x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{(x + h)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{(x + h)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{{(x + h)}^{1}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3.2.6.5

Упростим.

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.4

Чтобы записать $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.5

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 1.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.6.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.4.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5

Перепишем ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1.1.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$\frac{\frac{{(h + x)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.1.2

Изменим порядок ${(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{x {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.1.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - h x^{\frac{1}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- h x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.1.6

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{1} - h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.8.5.3

Упростим.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 1.9

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x (x + h) x^{- \frac{1}{2}}}}{h}$

Этап 1.10

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{- \frac{1}{2}} x (x + h)}}{h}$

Этап 1.10.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x + h)}}{h}$

Этап 1.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{- \frac{1}{2} + 1} (x + h)}}{h}$

Этап 1.10.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x + h)}}{h}$

Этап 1.10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x + h)}}{h}$

Этап 1.10.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$

Этап 4

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$