Алгебра Примеры

$f (x) = {(x + 4)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$f (x) = (x + 4) (x + 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 8 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.4

Развернем $(x^{2} + 8 x + 16) (x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x) = (x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $2$ на $8$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.1.5

Умножим $16$ на $2$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Добавим $2 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.2.2

Добавим $16 x$ и $16 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) ((x - 2) (x - 2))$

Этап 1.6

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Этап 1.7.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 1.8

Развернем $(x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$

Этап 1.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Изменим порядок множителей в членах $32 x \cdot 4$ и $32 (- 4 x)$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 4 \cdot (32 x) + 32 x^{2} - 4 \cdot (32 x) + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.1.2

Вычтем $4 \cdot 32 x$ из $4 \cdot 32 x$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 0 + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.1.3

Добавим $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2}$ и $0$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{3 + 2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$f (x) = x^{5} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} x + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.3.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.4

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 (x^{2} x^{2}) + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{2 + 2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{2} x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.7.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{3}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.8

Умножим $10$ на $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.9

Умножим $4$ на $10$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.10

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x \cdot x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.12

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.12.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.12.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x^{2}) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.13

Умножим $32$ на $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Этап 1.9.2.14

Умножим $32$ на $4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Этап 1.9.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Добавим $- 4 x^{4}$ и $10 x^{4}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} + 4 x^{3} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Этап 1.9.3.2

Вычтем $40 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 36 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Этап 1.9.3.3

Добавим $- 36 x^{3}$ и $32 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} + 40 x^{2} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Этап 1.9.3.4

Вычтем $128 x^{2}$ из $40 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 88 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Этап 1.9.3.5

Добавим $- 88 x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 56 x^{2} + 128$

Этап 2

Степенью многочлена является наибольшая из степеней его членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определим показатели степеней переменных в каждом члене и сложим их, чтобы определить степень каждого члена.

$x^{5} \to 5$

$6 x^{4} \to 4$

$- 4 x^{3} \to 3$

$- 56 x^{2} \to 2$

$128 \to 0$

Этап 2.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$5$

Этап 3

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{5}$

Этап 4

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{5}$

Этап 4.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 5

Перечислим результаты.

Степень многочлена: $5$

Старший член: $x^{5}$

Старший коэффициент: $1$