Алгебра Примеры

$\frac{10}{x + 4} > 3 - x$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{10}{x + 4} - 3 > - x$

Этап 1.2

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$\frac{10}{x + 4} - 3 + x > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{10}{x + 4} - 3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{10}{x + 4} - 3 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{10}{x + 4} + \frac{- 3 (x + 4)}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 - 3 (x + 4)}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 - 3 x - 3 \cdot 4}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{10 - 3 x - 12}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $12$ из $10$ .

$\frac{- 3 x - 2}{x + 4} + x > 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{- 3 x - 2}{x + 4} + \frac{x (x + 4)}{x + 4} > 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 x - 2 + x (x + 4)}{x + 4} > 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 4}{x + 4} > 0$

Этап 2.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 3 x - 2 + x^{2} + x \cdot 4}{x + 4} > 0$

Этап 2.7.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{- 3 x - 2 + x^{2} + 4 \cdot x}{x + 4} > 0$

Этап 2.7.4

Добавим $- 3 x$ и $4 x$ .

$\frac{x - 2 + x^{2}}{x + 4} > 0$

Этап 2.7.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 4} > 0$

Этап 2.7.6

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.7.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 4$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 1, - 2, - 4$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 4 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{10}{(- 6) + 4} > 3 - (- 6)$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 5$ не больше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{10}{(- 3) + 4} > 3 - (- 3)$

Этап 11.2.3

Левая часть $10$ больше правой части $6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{10}{(0) + 4} > 3 - (0)$

Этап 11.3.3

Левая часть $2.5$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{10}{(4) + 4} > 3 - (4)$

Этап 11.4.3

Левая часть $1.25$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < - 2$ или $x > 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < - 2 or x > 1$

Интервальное представление:

$(- 4, - 2) \cup (1, \infty)$

Этап 14