Алгебра Примеры

$\sqrt{2 a - 3} < 5$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 a - 3}}^{2} < 5^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 a - 3}$ в виде ${(2 a - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 a - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 5^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 a - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 a - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 a - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 a - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 a - 3)}^{1} < 5^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 a - 3 < 5^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 a - 3 < 25$

Этап 3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $a$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$2 a < 25 + 3$

Этап 3.1.2

Добавим $25$ и $3$ .

$2 a < 28$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a < 28$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a < 28$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} < \frac{28}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} < \frac{28}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a < \frac{28}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $28$ на $2$ .

$a < 14$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{2 a - 3} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 a - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 a - 3 \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$2 a \geq 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 a \geq 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 a \geq 3$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a \geq \frac{3}{2}$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

$[\frac{3}{2}, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$a < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < a < 14$

$a > 14$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $a < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $a < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $a$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (0) - 3} < 5$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $\frac{3}{2} < a < 14$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3}{2} < a < 14$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 4$

Этап 6.2.2

Заменим $a$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (4) - 3} < 5$

Этап 6.2.3

Левая часть $2.23606797$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $a > 14$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $a > 14$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 16$

Этап 6.3.2

Заменим $a$ на $16$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2 (16) - 3} < 5$

Этап 6.3.3

Левая часть $5.3851648$ не меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$a < \frac{3}{2}$ Ложь

$\frac{3}{2} < a < 14$ Истина

$a > 14$ Ложь

$a < \frac{3}{2}$ Ложь

$\frac{3}{2} < a < 14$ Истина

$a > 14$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3}{2} < a < 14$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{3}{2} < a < 14$

Интервальное представление:

$(\frac{3}{2}, 14)$

Этап 9