Алгебра Примеры

$\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2) - \log (x - 3)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (\frac{2}{x - 3})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x}{5} = \frac{2}{x - 3}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$x (x - 3) = 5 \cdot 2$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $x (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Этап 4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Этап 4.2.1.2.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 x = 5 \cdot 2$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Этап 4.2.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Этап 4.2.4

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 4.2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Этап 4.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.2.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 5, - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$ истинным.

$x = 5$