Алгебра Примеры

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} + 5 u - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 36$ , а сумма — $5$ .

$- 4, 9$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

Этап 7.1.1.2

Запишем $9$ как $- 1$ плюс $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

Этап 7.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Этап 7.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 9

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 10

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 11.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 11.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 12

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 13

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$