Алгебра Примеры

$\frac{r + 5}{r^{2} - 2 r} - 1 = \frac{1}{r^{2} - 2 r}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2} - 2 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$\frac{r + 5}{r \cdot r - 2 r} - 1 = \frac{1}{r^{2} - 2 r}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $r$ из $- 2 r$ .

$\frac{r + 5}{r \cdot r + r \cdot - 2} - 1 = \frac{1}{r^{2} - 2 r}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot r + r \cdot - 2$ .

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r^{2} - 2 r}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $r$ из $r^{2} - 2 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r \cdot r - 2 r}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $r$ из $- 2 r$ .

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r \cdot r + r \cdot - 2}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot r + r \cdot - 2$ .

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r (r - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r (r - 2), 1, r (r - 2)$

Этап 2.2

Поскольку $r (r - 2), 1, r (r - 2)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $r (r - 2), 1, r (r - 2)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $r^{1}, r^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $r - 2, r - 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $r^{1}$ является само значение $r$ .

$r^{1} = r$

$r$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $r^{1}, r^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$r$

Этап 2.8

Множителем $r - 2$ является само значение $r - 2$ .

$(r - 2) = r - 2$

$(r - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $r - 2, r - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$r - 2$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$r (r - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r (r - 2)}$ умножим на $r (r - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{r + 5}{r (r - 2)} - 1 = \frac{1}{r (r - 2)}$ на $r (r - 2)$ .

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} (r (r - 2)) - (r (r - 2)) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $r (r - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r + 5}{r (r - 2)} (r (r - 2)) - (r (r - 2)) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$r + 5 - (r (r - 2)) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r + 5 - (r \cdot r + r \cdot - 2) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $r$ на $r$ .

$r + 5 - (r^{2} + r \cdot - 2) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 2$ влево от $r$ .

$r + 5 - (r^{2} - 2 \cdot r) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$r + 5 - r^{2} - (- 2 r) = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$r + 5 - r^{2} + 2 r = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.2.2

Добавим $r$ и $2 r$ .

$3 r + 5 - r^{2} = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $r (r - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 r + 5 - r^{2} = \frac{1}{r (r - 2)} (r (r - 2))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 r + 5 - r^{2} = 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 r + 5 - r^{2} - 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$3 r - r^{2} + 4 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3 r - r^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Изменим порядок $3 r$ и $- r^{2}$ .

$- r^{2} + 3 r + 4 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- r^{2}$ .

$- (r^{2}) + 3 r + 4 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 r$ .

$- (r^{2}) - (- 3 r) + 4 = 0$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- (r^{2}) - (- 3 r) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{2}) - (- 3 r)$ .

$- (r^{2} - 3 r) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 4.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{2} - 3 r) - 1 (- 4)$ .

$- (r^{2} - 3 r - 4) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим $r^{2} - 3 r - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((r - 4) (r + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (r - 4) (r + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $r - 4$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $r - 4$ к $0$ .

$r - 4 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$r = 4$

Этап 4.6

Приравняем $r + 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $r + 1$ к $0$ .

$r + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$r = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (r - 4) (r + 1) = 0$ верно.

$r = 4, - 1$