Алгебра Примеры

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}{h}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}}{h}$

Этап 1.2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}}{h}$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}}{h}$

Этап 1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}}{h}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}}{h}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Этап 1.4

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{x + h} x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{x}$ на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $\sqrt{x + h} x$ .

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x - \sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7

Перепишем $\frac{x - \sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x - x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.3.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.3.5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- {(h + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.4

Сократим выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x (\sqrt{x + h})}}{h}$

Этап 1.7.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.7.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.8

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Этап 1.9

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + h}}}{h}$

Этап 1.10.2

Перенесем $\sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

Этап 1.10.3

Возведем $\sqrt{x + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

Этап 1.10.4

Возведем $\sqrt{x + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

Этап 1.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 1.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

Этап 1.10.7

Перепишем ${\sqrt{x + h}}^{2}$ в виде $x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Этап 1.10.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Этап 1.10.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.10.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.10.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{1}}}{h}$

Этап 1.10.7.5

Упростим.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$ .

$\frac{\sqrt{x + h} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$