Алгебра Примеры

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{4 x}$ в виде степенного выражения.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Этап 2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u = u^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $u^{2} - 3 u - 5$ на $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $9$ и $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Этап 4.8

Подставим вещественное значение $u = u^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Этап 4.9

Решим первое уравнение относительно $u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Этап 4.10

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Этап 4.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Этап 4.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Этап 4.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Этап 4.11

Решим второе уравнение относительно $u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Этап 4.12

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Избавимся от скобок.

$u^{2} = - 1.1925824$

Этап 4.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Этап 4.12.3

Упростим $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.1

Перепишем $- 1.1925824$ в виде $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Этап 4.12.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Этап 4.12.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Этап 4.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Этап 4.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Этап 4.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Этап 4.13

Решением $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ является $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Этап 5

Подставим $\sqrt{4.1925824}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Этап 6

Решим $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Этап 7

Подставим $- \sqrt{4.1925824}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Этап 8

Решим $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Этап 8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ не определено.

Неопределенные

Этап 8.4

Нет решения для $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Нет решения

Этап 9

Подставим $i \sqrt{1.1925824}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Этап 10

Решим $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Этап 10.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Этап 10.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Этап 10.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Этап 10.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Перепишем $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ в виде $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Этап 10.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1.1925824}$ в виде ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.4.3

Развернем $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Этап 10.4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Этап 10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Перепишем $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Этап 10.5.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.5.1.3

Перепишем $1.1925824$ в виде ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.5.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 10.5.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.5.1

Сократим общий множитель.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 10.5.1.5.2

Перепишем это выражение.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Этап 10.5.1.6

Найдем экспоненту.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Этап 10.5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Этап 10.5.3

Перенесем $1.09205421$ влево от $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Этап 11

Подставим $- i \sqrt{1.1925824}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Этап 12

Решим $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Этап 12.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Этап 12.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ не определено.

Неопределенные

Этап 12.4

Нет решения для $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Нет решения

Этап 13

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$