Алгебра Примеры

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Этап 1

Добавим $\sqrt{c}$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c + 9}$ в виде ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ в виде $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.7.1

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.7.2

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.8

Перепишем ${\sqrt{c}}^{2}$ в виде $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.8.5

Упростим.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $\sqrt{3 c}$ и $\sqrt{c \cdot 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Изменим порядок $c$ и $3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Этап 3.3.1.3.2.2

Добавим $\sqrt{3 c}$ и $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{3 c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем таким образом, чтобы $2 \sqrt{3 c}$ оказалось в левой части неравенства.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{3 c}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $c$ из обеих частей неравенства.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $c + 9 - 3 - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $c$ из $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Этап 4.2.4

Вычтем $3$ из $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 c}$ в виде ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Применим правило умножения к $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Применим правило умножения к $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.5

Найдем экспоненту.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.7

Перемножим экспоненты в ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Этап 6.2.1.8

Упростим.

$12 c < 6^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$12 c < 36$

Этап 7

Разделим каждый член $12 c < 36$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $12 c < 36$ на $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $36$ на $12$ .

$c < 3$

Этап 8

Найдем область определения $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{c + 9}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$c + 9 \geq 0$

Этап 8.2

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$c \geq - 9$

Этап 8.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{c}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$c \geq 0$

Этап 8.4

Область определения ― это все значения $c$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $c < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $c < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$c = - 2$

Этап 10.1.2

Заменим $c$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Этап 10.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $0 < c < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < c < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$c = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $c$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Этап 10.2.3

Левая часть $1.90241122$ больше правой части $1.7320508$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $c > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $c > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$c = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $c$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Этап 10.3.3

Левая часть $1.4234936$ не больше правой части $1.7320508$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$c < 0$ Ложь

$0 < c < 3$ Истина

$c > 3$ Ложь

$c < 0$ Ложь

$0 < c < 3$ Истина

$c > 3$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < c < 3$

Этап 12