Алгебра Примеры

$108 x^{3} + 37 = 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$108 x^{3} + 37 - 5 = 0$

Этап 2

Вычтем $5$ из $37$ .

$108 x^{3} + 32 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $4$ из $108 x^{3} + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4$ из $108 x^{3}$ .

$4 (27 x^{3}) + 32 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$4 (27 x^{3}) + 4 (8) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (27 x^{3}) + 4 (8)$ .

$4 (27 x^{3} + 8) = 0$

Этап 4

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$4 ({(3 x)}^{3} + 8) = 0$

Этап 5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$4 ({(3 x)}^{3} + 2^{3}) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$4 ((3 x + 2) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$4 ((3 x + 2) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)) = 0$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Этап 9

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 9.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 10

Приравняем $9 x^{2} - 6 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $9 x^{2} - 6 x + 4$ к $0$ .

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Этап 10.2

Решим $9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.2.2

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 6$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 4)}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.2.2

Умножим $- 36$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 10.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 10.2.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.2.2

Умножим $- 36$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 10.2.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 10.2.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$