Алгебра Примеры

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Этап 2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Этап 2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Этап 2.5

Перепишем уравнение в виде $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Этап 2.6

Разделим каждый член $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ на $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $2^{y - 1}$ на $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Этап 2.7

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Этап 2.8

Развернем $\ln (2^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Этап 2.9

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим $(y - 1) \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Этап 2.9.1.2

Перепишем $- 1 \ln (2)$ в виде $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Этап 2.10

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Этап 2.11

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $\ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Этап 2.11.2

Добавим $\ln (\frac{1}{x - 2})$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Этап 2.12

Разделим каждый член $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ на $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 2.12.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 2.12.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ обратной к $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.3.2

Добавим ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.2.2

Умножим $2^{x - 1}$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.3

Развернем $\ln (2^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4.4.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Этап 4.3.3.2

Добавим $0$ и $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Этап 4.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Этап 4.3.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Этап 4.3.4.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Этап 4.3.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Этап 4.3.4.5

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$