Алгебра Примеры

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ на $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ на $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.2

Перенесем $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{1 + t}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.4

Возведем $\sqrt{1 + t}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7

Перепишем ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ в виде $1 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + t}$ в виде ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

Этап 1.2.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{t}$ на $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + t}$ в виде ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Этап 4.2

Перепишем $1 + t$ в виде ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

Этап 4.3

Пусть $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

Этап 4.5

Заменим все вхождения $u$ на ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

Этап 5

Перенесем ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6

Умножим $1 + t$ на ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

Этап 6.2

Умножим ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $1 + t$ в степень $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Этап 6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Этап 6.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$