Алгебра Примеры

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} = \frac{x^{2} - 7 x + 10}{4 x}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2 x} = \frac{x^{2} - 7 x + 10}{4 x} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{2 x} = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} - \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x, 4 x, 2$

Этап 2.2

Так как $2 x, 4 x, 2$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 4, 2$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.6

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.7

НОК $2, 4, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.9

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.11

НОК $2 x, 4 x, 2$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{2 x} = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} - \frac{1}{2}$ умножим на $4 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 x} = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} - \frac{1}{2}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{2 x} (4 x) = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{2 x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (x)} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1}{x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x} x = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} (4 x) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 = 4 \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} x - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$2 = 4 \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 (x)} x - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 = 4 \frac{(x - 5) (x - 2)}{4 x} x - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{(x - 5) (x - 2)}{x} x - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{(x - 5) (x - 2)}{x} x - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 = (x - 5) (x - 2) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(x - 5) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x (x - 2) - 5 (x - 2) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 5 (x - 2) - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2 - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 = x^{2} + x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2 - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 = x^{2} - 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 2 - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$2 = x^{2} - 2 x - 5 x + 10 - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.5.2

Вычтем $5 x$ из $- 2 x$ .

$2 = x^{2} - 7 x + 10 - \frac{1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 = x^{2} - 7 x + 10 + \frac{- 1}{2} (4 x)$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$2 = x^{2} - 7 x + 10 + \frac{- 1}{2} (2 (2 x))$

Этап 3.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$2 = x^{2} - 7 x + 10 + \frac{- 1}{2} (2 (2 x))$

Этап 3.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$2 = x^{2} - 7 x + 10 - (2 x)$

Этап 3.3.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 = x^{2} - 7 x + 10 - 2 x$

Этап 3.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 7 x$ .

$2 = x^{2} - 9 x + 10$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 9 x + 10 = 2$ .

$x^{2} - 9 x + 10 = 2$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 9 x + 10 - 2 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $2$ из $10$ .

$x^{2} - 9 x + 8 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} - 9 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 9$ .

$- 8, - 1$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x - 1) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 4.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 8, 1$