Алгебра Примеры

$y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$

Этап 1

Разделим каждый член $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ на $x^{2} - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ на $x^{2} - 4$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Этап 1.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{1}{x - 2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Этап 3.4.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Этап 3.4.3

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Этап 3.4.6

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Этап 3.4.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 2 \geq 0$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 2$

Этап 7

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 8

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 2}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(2, \infty), {x | x > 2}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 12