Алгебра Примеры

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Этап 2

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Этап 6

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Этап 7

Разложим $u^{2} + u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 9

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 10

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = 1, - 2$

Этап 12

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 14.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 14.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 14.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 14.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 2)$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 15.3

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 15.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 15.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 15.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 15.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 15.6.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 15.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 15.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$