Алгебра Примеры

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} - 2 x - 15} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 2 x - 15} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.3

Сократим выражение $\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{x - 5} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, x - 5$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

НОК $x - 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 5$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x^{2}}{x - 5} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$ умножим на $x - 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{x - 5} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$ на $x - 5$ .

$\frac{x^{2}}{x - 5} (x - 5) = \frac{4 x + 5}{x - 5} (x - 5)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{x - 5} (x - 5) = \frac{4 x + 5}{x - 5} (x - 5)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{4 x + 5}{x - 5} (x - 5)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4 x + 5}{x - 5} (x - 5)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 4 x + 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x = 5$

Этап 4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15} = \frac{4 x + 5}{x - 5}$ истинным.

$x = - 1$