Алгебра Примеры

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Этап 3.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 3.1.3.4

Разделим $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.4

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 3.6.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 3.6.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 4.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 4.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 4.1.3.4

Разделим $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.1.4

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 4.3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.5

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

Этап 4.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

Этап 4.6.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 4.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 4.6.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 4.6.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 4.6.3.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1, - 1$

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 1, - 1$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8