Алгебра Примеры

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Этап 2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Этап 2.1.3.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Этап 2.3.3

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Этап 2.3.4

Разложим $x^{2} + 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $4$ .

$- 4, 8$

Этап 2.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Этап 2.3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 2.3.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.7

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 2.3.7.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 4, - 8$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 4 x > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 4 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Этап 3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Этап 3.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Этап 3.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 3.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Этап 3.2.8.1.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.8.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Этап 3.2.8.2.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 3.2.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Этап 3.2.8.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 3.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $x > 0$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Этап 5.2.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.2.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Этап 5.4.3

Левая часть $3.5849625$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Этап 5.5.3

Левая часть $5.90689059$ не меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 4$

Интервальное представление:

$(0, 4)$

Этап 8