Алгебра Примеры

$\log_{3} (x + 9) < 4$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{3} (x + 9) = 4$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{3} (x + 9) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{4} = x + 9$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x + 9 = 3^{4}$ .

$x + 9 = 3^{4}$

Этап 2.2.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$x + 9 = 81$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = 81 - 9$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $9$ из $81$ .

$x = 72$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{3} (x + 9) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (x + 9)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 9 > 0$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$x > - 9$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- 9, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < 72$

$x > 72$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ((- 12) + 9) < 4$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < 72$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < 72$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ((0) + 9) < 4$

Этап 5.2.3

Левая часть $2$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 72$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 72$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 74$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $74$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ((74) + 9) < 4$

Этап 5.3.3

Левая часть $4.02220205$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Ложь

$- 9 < x < 72$ Истина

$x > 72$ Ложь

$x < - 9$ Ложь

$- 9 < x < 72$ Истина

$x > 72$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 9 < x < 72$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 9 < x < 72$

Интервальное представление:

$(- 9, 72)$

Этап 8