Алгебра Примеры

What is the inverse function of the $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ ?

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 x + 1}{5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y + 1}{5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 y + 1}{5} = x$ .

$\frac{3 y + 1}{5} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $5$ .

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y + 1 = x \cdot 5$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$3 y + 1 = 5 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 y = 5 x - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $3 y = 5 x - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = 5 x - 1$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ обратной к $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5})}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $3 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Этап 5.3.3.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$