Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{1}{9}$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Этап 2.2.3.2

Разделим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 2.4.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 2.4.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

Этап 2.4.2.1.3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$| x | \leq \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Запишем $| x | \leq \frac{1}{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \frac{1}{3}$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \frac{1}{3}$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $x \leq \frac{1}{3}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

Этап 2.7

Решим $- x \leq \frac{1}{3}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \frac{1}{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \frac{1}{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{3}$ в виде $- \frac{1}{3}$ .

$x \geq - \frac{1}{3}$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \frac{1}{3}$ и $x < 0$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \frac{1}{3}]$

Обозначение построения множества:

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Диапазон: $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Этап 6