Алгебра Примеры

$\sec^{2} (x) - 6 \tan (x) = - 4$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 6 \tan (x) = - 4$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\tan^{2} (x) - 6 \tan (x) + 1 = - 4$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 6 u + 1 = - 4$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 6 u + 1 + 4 = 0$

Этап 5

Добавим $1$ и $4$ .

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Этап 6

Разложим $u^{2} - 6 u + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 9

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 5) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 5, 1$

Этап 11

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 5, 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 5$

$\tan (x) = 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (5)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $\arctan (5)$ .

$x = 1.37340076$

Этап 13.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.37340076$

Этап 13.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Этап 13.4.3

Добавим $3.14159265$ и $1.37340076$ .

$x = 4.51499342$

Этап 13.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 14.3

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 14.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 14.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 14.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $1.37340076 + π n$ и $4.51499342 + π n$ в $1.37340076 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$