Алгебра Примеры

$4 x^{2} + 1 \geq 4 x$

Этап 1

Вычтем $4 x$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{2} + 1 - 4 x \geq 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} + 1 - 4 x = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переставляем члены.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

Этап 3.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 3.5

Перепишем многочлен.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 3.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} + 1 \geq 4 (0)$

Этап 7.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$4 {(3)}^{2} + 1 \geq 4 (3)$

Этап 7.2.3

Левая часть $37$ больше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq \frac{1}{2}$ или $x \geq \frac{1}{2}$

Этап 9

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Этап 11