Алгебра Примеры

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 81}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 9, 9 - x, (x + 9) (x - 9)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 9$ является само значение $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $9 - x$ является само значение $9 - x$ .

$(9 - x) = 9 - x$

$(9 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 9$ является само значение $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 9$ является само значение $x - 9$ .

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 9, 9 - x, x + 9, x - 9$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 9) (9 - x) (x - 9)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$ умножим на $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$ на $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ .

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 9$ из $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ .

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) ((9 - x) (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) ((9 - x) (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x ((9 - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$x ((- 1 (- 9) - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x ((- 1 (- 9) - (x)) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 9) - (x)$ .

$x (- 1 (- 9 + x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.5

Изменим порядок членов.

$x (- 1 (x - 9) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.6

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 9)}^{1} (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.7

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 9)}^{1} {(x - 9)}^{1})) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 1 {(x - 9)}^{1 + 1}) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$x (- 1 {(x - 9)}^{2}) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 9)}^{2} - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.11

Сократим общий множитель $9 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9 - x}$ в числитель.

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.11.2

Вынесем множитель $9 - x$ из $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ .

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((9 - x) ((x + 9) (x - 9))) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((9 - x) ((x + 9) (x - 9))) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 9)}^{2} - ((x + 9) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.12

Развернем $(x + 9) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 9)}^{2} - (x (x - 9) + 9 (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.13

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.13.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 9$ и $9 x$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.13.2

Добавим $- 9 x$ и $9 x$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + 0 + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.13.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - (x^{2} + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.14.2

Умножим $9$ на $- 9$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - (x^{2} - 81) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} - - 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.2.1.16

Умножим $- 1$ на $- 81$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(x + 9) (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $(x + 9) (x - 9)$ из $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9) (9 - x))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9) (9 - x))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 2 x (9 - x)$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 2 x \cdot 9 + 2 x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $9$ на $2$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 x (- x)$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x - 2 x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 - 18 x = - 2 x^{2}$

Этап 4.1.2

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем ${(x - 9)}^{2}$ в виде $(x - 9) (x - 9)$ .

$- x ((x - 9) (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2

Развернем $(x - 9) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 9) - 9 (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.2

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.3

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$- x (x^{2} - 9 x - 9 x + 81) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$- x (x^{2} - 18 x + 81) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x \cdot x - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.3

Умножим $81$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x \cdot x - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 (x \cdot x) - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x^{2} - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$- x^{3} + 18 x^{2} - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$- x^{3} + 17 x^{2} - 81 x + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.5

Добавим $17 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- x^{3} + 19 x^{2} - 81 x + 81 - 18 x = 0$

Этап 4.1.6

Вычтем $18 x$ из $- 81 x$ .

$- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

Этап 4.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 19 \cdot 1 - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.5

Умножим $19$ на $1$ .

$- 1 + 19 - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.6

Добавим $- 1$ и $19$ .

$18 - 99 \cdot 1 + 81$

Этап 4.2.1.3.7

Умножим $- 99$ на $1$ .

$18 - 99 + 81$

Этап 4.2.1.3.8

Вычтем $99$ из $18$ .

$- 81 + 81$

Этап 4.2.1.3.9

Добавим $- 81$ и $81$ .

$0$

Этап 4.2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81}{x - 1}$

Этап 4.2.1.5

Разделим $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$19 x^{2}$

$99 x$

$81$

Этап 4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$

Этап 4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$

Этап 4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x^{2} - 18 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$

Этап 4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$

Этап 4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 81 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$

Этап 4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							-	$81 x$	+	$81$

Этап 4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 81 x + 81$ .

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							+	$81 x$	-	$81$

Этап 4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							+	$81 x$	-	$81$
										$0$

Этап 4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 18 x - 81$

Этап 4.2.1.6

Запишем $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (- x^{2} + 18 x - 81) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ , а сумма — $b = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $18$ из $18 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 18 (x) - 81) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $18$ как $9$ плюс $9$

$(x - 1) (- x^{2} + (9 + 9) x - 81) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (- x^{2} + 9 x + 9 x - 81) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((- x^{2} + 9 x) + 9 x - 81) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x (- x + 9) - 9 (- x + 9)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 9$ .

$(x - 1) ((- x + 9) (x - 9)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (- x + 9) (x - 9) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.5

Приравняем $- x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $- x + 9$ к $0$ .

$- x + 9 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $- x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 9$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x = 9$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (- x + 9) (x - 9) = 0$ верно.

$x = 1, 9$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 81}$ истинным.

$x = 1$