Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 6} + \frac{2 x}{x + 4} = \frac{3 x}{x + 6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 6, x + 4, x + 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 6$ является само значение $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 6$ является само значение $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 6, x + 4, x + 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 6) (x + 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x + 6} + \frac{2 x}{x + 4} = \frac{3 x}{x + 6}$ умножим на $(x + 6) (x + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 6} + \frac{2 x}{x + 4} = \frac{3 x}{x + 6}$ на $(x + 6) (x + 4)$ .

$\frac{2}{x + 6} ((x + 6) (x + 4)) + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 6) (x + 4)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x + 6} ((x + 6) (x + 4)) + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 6) (x + 4)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (x + 4) + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 6) (x + 4)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 \cdot 4 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 6) (x + 4)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$2 x + 8 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 6) (x + 4)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 6) (x + 4)$ .

$2 x + 8 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 6)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 x + 8 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 6)) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 x + 8 + 2 x (x + 6) = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 8 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 6 = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$2 x + 8 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 6 = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x + 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 6 = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $6$ на $2$ .

$2 x + 8 + 2 x^{2} + 12 x = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.2.2

Добавим $2 x$ и $12 x$ .

$14 x + 8 + 2 x^{2} = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$14 x + 8 + 2 x^{2} = \frac{3 x}{x + 6} ((x + 6) (x + 4))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$14 x + 8 + 2 x^{2} = 3 x (x + 4)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x + 8 + 2 x^{2} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 4$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем $x$ .

$14 x + 8 + 2 x^{2} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$14 x + 8 + 2 x^{2} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 4$

Этап 2.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$14 x + 8 + 2 x^{2} = 3 x^{2} + 12 x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$14 x + 8 + 2 x^{2} - 3 x^{2} = 12 x$

Этап 3.1.2

Вычтем $12 x$ из обеих частей уравнения.

$14 x + 8 + 2 x^{2} - 3 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 3.1.3

Вычтем $12 x$ из $14 x$ .

$8 + 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 3.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$8 - x^{2} + 2 x = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $8 - x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $8$ .

$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4, - 2$