Алгебра Примеры

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, 2, - 3$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $192$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $32$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 0.0625$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

Этап 11.4.3

Левая часть $2.61224489$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 2$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 2$

Интервальное представление:

$(0, 2)$

Этап 14