Алгебра Примеры

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Этап 1

Вынесем НОД $x$ из $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем НОД $x$ из каждого члена многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем НОД $x$ из выражения $x^{3}$ .

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Этап 1.1.2

Вынесем НОД $x$ из выражения $2 x^{2}$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Этап 1.1.3

Вынесем НОД $x$ из выражения $x$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Этап 1.2

Поскольку все члены имеют общий множитель $x$ , его можно вынести из каждого члена.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 2

Применим правило Декарта к внутреннему выражению $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 4

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $0$ , максимальное число положительных корней равно $0$ (правило знаков Декарта).

Положительные корни: $0$

Этап 5

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Этап 6.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Этап 6.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 7

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $2$ , максимальное число отрицательных корней равно $2$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $2 - 2$ ).

Отрицательные корни: $2$ или $0$

Этап 8

Возможное количество положительных корней равно $0$ , а возможное количество отрицательных корней ― $2$ или $0$ .

Положительные корни: $0$

Отрицательные корни: $2$ или $0$