Алгебра Примеры

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим уравнение на $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - x = 2 y + 1$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y x - x - 2 y = 1$

Этап 2.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y x - 2 y = 1 + x$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 2 y = 1 + x$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 1 + x$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (x - 2) = 1 + x$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = 1 + x$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Этап 2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Этап 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

Этап 4.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

Этап 4.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.6

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.7.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.7.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.7.4

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 4.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Этап 4.2.8.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Этап 4.2.8.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

Этап 4.2.8.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Этап 4.2.8.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Этап 4.2.8.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

Этап 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

Этап 4.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

Этап 4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.2

Объединим $2$ и $\frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.5

Изменим порядок членов.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.6

Перепишем $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.6.3

Добавим $x$ и $2 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.6.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.6.5

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 4.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.7.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.7.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

Этап 4.3.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

Этап 4.3.7.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

Этап 4.3.7.6

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

Этап 4.3.7.7

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

Этап 4.3.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вынесем множитель $\frac{3 x}{x - 2}$ из $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Этап 4.3.8.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Этап 4.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Этап 4.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 4.3.8.3

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 4.3.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$