Алгебра Примеры

$- 2 x^{2} - 25 x < 5 x + 108$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x^{2} - 25 x - 5 x < 108$

Этап 1.2

Вычтем $5 x$ из $- 25 x$ .

$- 2 x^{2} - 30 x < 108$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 2 x^{2} - 30 x = 108$

Этап 3

Вычтем $108$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} - 30 x - 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 30 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 108 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 108$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (15 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 (54)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x + 54) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} + 15 x + 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $54$ , а сумма — $15$ .

$6, 9$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x + 6) (x + 9)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 7

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$ верно.

$x = - 6, - 9$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 6$

$x > - 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(- 12)}^{2} - 25 \cdot - 12 < 5 (- 12) + 108$

Этап 10.1.3

Левая часть $12$ меньше правой части $48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 < 5 (- 8) + 108$

Этап 10.2.3

Левая часть $72$ не меньше правой части $68$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < 5 (0) + 108$

Этап 10.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $108$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 6$ Ложь

$x > - 6$ Истина

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 6$ Ложь

$x > - 6$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 9$ или $x > - 6$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 9 or x > - 6$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 9) \cup (- 6, \infty)$

Этап 13