Алгебра Примеры

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8 x$ к обеим частям неравенства.

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

Этап 1.2

Добавим $24 x$ и $8 x$ .

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

Этап 3

Добавим $120$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 32 x + 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $32 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $120$ .

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (16 x)$ .

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} + 16 x + 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $60$ , а сумма — $16$ .

$6, 10$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 7

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 6) (x + 10) = 0$ верно.

$x = - 6, - 10$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

Этап 10.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 24$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 10 < x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 10 < x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 64$ меньше правой части $- 56$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

Этап 10.3.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 120$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 10$ Ложь

$- 10 < x < - 6$ Истина

$x > - 6$ Ложь

$x < - 10$ Ложь

$- 10 < x < - 6$ Истина

$x > - 6$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 10 \leq x \leq - 6$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 10 \leq x \leq - 6$

Интервальное представление:

$[- 10, - 6]$

Этап 13