Алгебра Примеры

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 (x) - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2.1.2

Запишем $4$ как $- 1$ плюс $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x) + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(5 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $2 (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{5 x - 1}{2}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x - 1}{2}$