Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2) (x + 4)}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{x - 4}{x - 2}$ на $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x + 2)}$